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Date: Sun, 6 Oct 2024 09:02:21 +0800
Subject: [PATCH] cmplt  H1T2

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 排序问题/report.md | 47 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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index a5c76fb..6cd1b66 100644
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@@ -68,3 +68,50 @@ $\boldsymbol{S}=(7,8,-10,-5)^T$
 
 $\boldsymbol{S^{(2)}}=(37,-7,-17,-5)^T$
 
+## T2.3
+
+$$
+s^i = \sum\limits_{j\in T_i}q_{ij}
+$$
+
+在讨论 $\boldsymbol{S}^{(2)}$ 的计算时，
+
+对于每个 $s^{(2)}_i$ 我们首先考虑单个 $j$ 的情况，对于 $\forall k \in T_j$ , $q^{(2)}_{ik} = q_{ij}+q_{jk}$，所以
+
+$$
+q^{(2)}_{ik} = \sum\limits_{k \in T_j}q_{ij}+q_{jk} = lq_{ij} + s_j
+$$
+
+所以，$s^{(2)}_i$ 即为上式求和
+
+$$
+s^{(2)}_i = \sum\limits_{j \in T_i}lq_{ij}+s_j = \sum\limits_{j=0}^{n}m_{ij}(s_j+q_{ij}l) = \sum\limits_{j=0}^{n}m_{ij}s_j + s_il
+$$
+
+如此求出每个 $s^{(2)}_i$，即可得到 $\boldsymbol{S}^{(2)}$
+
+$$
+\boldsymbol{S}^{(2)}=(\boldsymbol{M}+l)\boldsymbol{S}
+$$
+
+对于 $\boldsymbol{M}^2$ 若 $m^2_{ik}\neq 0$ ，则必然 $\exist j$ 使得 $m_{ij}m_{jk} = 1$所以 $m^2_{ik}$ 的值即为 $j$ 的个数，即为 $i$ 与 $k$ 之间发生的间接比赛的场数
+
+所以 $\boldsymbol{M}^2$ 保存了所有间接比赛的场数
+
+## 2.4
+
+我们易知 
+
+$$
+\boldsymbol{S}^{(3)}=(\boldsymbol{M}+l)\boldsymbol{S}^{(2)}
+$$
+
+$$
+\boldsymbol{S}^{(n)}=(\boldsymbol{M}+l)\boldsymbol{S}^{(n-1)}
+$$
+
+所以递推得到 
+
+$$
+\boldsymbol{S}^{(n)}=(\boldsymbol{M}+l)^{n-1}\boldsymbol{S}
+$$
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