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微积分/main.md

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+# 微积分
+
+## 一
+
+### 1.1
+
+对于上升阶段：
+$$
+ma=-(mg+f(v)) \tag{1.1.1}
+$$
+对于下降阶段2
+$$
+ma=mg-f(v) \tag{1.1.2}
+$$
+我们考虑上升阶段的情况，由公式 $$(1.1.2)$$ 可知
+$$
+m\mathrm{d}v=(mg+f(v))\mathrm{d}t \tag{1.1.3}
+$$
+从而
+$$
+t_a=\int_{0}^{t_a}\mathrm{d}t=\int_{v_0}^{0}\frac{m}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.4}
+$$
+我们对式 $(1.1.3)$ 两端乘上 $v$ 得到
+$$
+mv\mathrm{d}v=(mg+f(v))v\mathrm{d}t=(mg+f(v))\mathrm{d}x \tag{1.1.5}
+$$
+两边积分，得到
+$$
+x_a=\int_{0}^{x_a}\mathrm{d}x=\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.6}
+$$
+同理可知对于下降阶段
+$$
+t_b=\int_{0}^{t_b}\mathrm{d}t=\int_{v_f}^{0}\frac{m}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.7}
+$$
+
+$$
+x_b=\int_{0}^{x_b}\mathrm{d}x=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.8}
+$$
+
+我们知道 $x_a=x_b$ ，所以
+$$
+\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.9}
+$$
+
+### 1.2
+