# 排序问题

## T1

### T1.1 

对于 $\boldsymbol{\mu}$ 的任一分量 $\mu_{i}$, 我们可以知道 $\forall\mu\in\mathbb{R}$, $|\mu-\sigma_{i}^{1}|+|\mu-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu-\sigma_{i}^{k}|>|\mu_{i}-\sigma_{i}^{1}|+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{k}|$, 我们可以知道, $\mu_{i}$ 为 $\set{\sigma_{i}^{1},\sigma_{i}^{2},\cdots,\sigma_{i}^{k}}$ 的中位数
$$
\therefore \mu_{i} = \begin{align}\left\{\begin{aligned}
    \sigma_{i}^{k/2}, k为偶数\\
    \sigma_{i}^{(k+1)/2}, k为奇数
\end{aligned}\right.\end{align}
$$
我们取 $\boldsymbol{\sigma}_{i}^{\prime}$ 为 $\mu_{i}$ 在 $\set{\mu_{0},\mu_{1},\cdots,\mu_{k}}$ 中的排序，对于相同的值则随机排序，即为一种综合排序。然而，$\boldsymbol{\sigma^{\star}}$ 不能从中得出，因为可能有相同的值。

### T1.2

![](./res/t1.png)

对于 ABC 三点，C 在线段 AB 上，$|C-A|+|C-B|=const$ 所以我们可以认为这两个点对于 $\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|$ 与 $\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|$ 的贡献是相同的，所以我们可以令

$$
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=C+x_1
$$
$$
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|=C+x_2
$$

其中常数 C 是共同贡献的总值，于是

$$
\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=\frac{C+x_1}{C+x_2}
$$

可知常数 C 越小，比值越大

假设 $n-1$ 个点重合，点 $A$ 距离重合点距离为 $x$

![](./res/t2.png)

$\mu_j$ 为中位数，所以 $\mu_j$ 与 N 点重合

$$
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|= x
$$

$\mu_j$ 为平均数， $|\mu_j - N|=\frac{x}{n}$

$$
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=x+(n-2)\frac{x}{n}
$$

所以

$$
\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=1+\frac{n-2}{n}\leq2
$$

得证

## T2

## T2.1

$\boldsymbol{S}=(7,8,-10,-5)^T$

## T2.2

$\boldsymbol{S^{(2)}}=(37,-7,-17,-5)^T$