# 随机模型

## 第一题

### 1.1

旧赛制进球数概率

|        | 0         | 1         | 2     |
| ------ | --------- | --------- | ----- |
| 先 $X$ | $(1-p)^2$ | $2p(1-p)$ | $p^2$ |
| 后 $Y$ | $(1-q)^2$ | $2q(1-q)$ | $q^2$ |

$P\{先手胜\}=P\{X>Y\}=2p^2q(1-q)+2(1-q)^2p(1-p)+p^2(1-q)^2=(1-q)p[2pq+2(1-p)(1-q)+p(1-q)]$

$P\{后手胜\}=P\{X<Y\}=2q^2p(1-q)+2(1-p)^2q(1-q)+q^2(1-p)^2=2(1-p)q[2pq+2(1-p)(1-q)+q(1-p)]$

$P\{相同\}=P\{X=Y\}=[pq+(1-p)(1-q)]^2$

新赛制进球数概率


|        | 0            | 1               | 2    |
| ------ | ------------ | --------------- | ---- |
| 先 $X$ | $(1-p)(1-q)$ | $p(1-q)+q(1-p)$ | $pq$ |
| 后 $Y$ | $(1-p)(1-q)$ | $p(1-q)+q(1-p)$ | $pq$ |

 $P\{先手胜\}=P\{X>Y\}=p(1-p)[q^2+(1-q)^2]+q(1-q)[p^2+(1-p)^2]+pq(1-p)(1-q)$

$P\{后手胜\}=P\{X<Y\}=p(1-p)[q^2+(1-q)^2]+q(1-q)[p^2+(1-p)^2]+pq(1-p)(1-q)$

$P\{相同\}=P\{X=Y\}=[(1-p)(1-q)]^2+[p(1-q)+q(1-p)]^2+p^2q^2$

在 $p=\frac{3}{4},q=\frac{2}{3}$ 时

|      | 先胜             | 后胜             | 平               |
| ---- | ---------------- | ---------------- | ---------------- |
| 旧   | $\frac{17}{48}$  | $\frac{2}{9}$    | $\frac{61}{144}$ |
| 新   | $\frac{41}{144}$ | $\frac{41}{144}$ | $\frac{62}{144}$ |

### 1.2

无论在新旧规则下，加赛第一轮都是先罚球队先罚球，后罚球队后罚球。

所以，先罚球队获胜概率为: $p(1-q)$，后罚球队获胜概率为: $q(1-p)$

## 第二题

### 2.1

若 A 第一轮得分，则获胜，若不得分，若对手也不得分，则进入下一轮循环

所以概率为
$$
P\{A获胜\}=(\alpha+\beta)\sum\limits_{i=0}\gamma^i=\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}
$$

### 2.2

$$
P\{A获胜\}=\alpha+a\beta+b\gamma
$$

考虑 $a$ 的情况

1. B 不得分，A胜利 
2. B射门，A在突然死亡中胜利

所以 $a=\gamma+\beta\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}$

考虑 $b$ 的情况

B 在突然死亡中获胜的概率为$\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}$ ，则 A 获胜的概率 $b=P\{\bar{B}\}=1-P\{B\}=1-\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}$

### 2.3

由 **2.2** 的结论可知 
$$
P\{A获胜\}=\alpha+(\gamma+\beta\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2})\beta+(1-\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2})\gamma
$$
修改以前，代入 $\alpha+\beta=1-\gamma$ 我们可以知道
$$
P\{A获胜\}=\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}=\frac{1}{1+\gamma}
$$
所以，先手获胜的概率是更大的，尤其是不得分的概率很小时

修改之后， 

1. $\gamma$ 很大, 即 $\gamma\to1$ 时

   $P=\frac{\gamma^2}{1+\gamma}=\frac{1}{2}$

2. $\gamma$ 很小, 即 $\gamma\to0$ 时

   $P=\alpha+\beta^2$ ，此时我们令 $\alpha=1-\beta$, 可知 $P=1-\beta+\beta^2$

   ![](.\res\figure1.png)

   先手仍更有可能获胜，但是在 $\beta$ 没有很大或很小的情况时，比修改之前小。

   注：$\beta$ 很大导致先手获胜概率大是因为第三轮突然死亡先手得分概率很大，$\beta$ 很小则先手在第一轮就容易获胜。如果要使得先手后手更加公平，需要继续推迟突然死亡的机制