# 微积分

## 一

### 1.1

对于上升阶段：
$$
ma=-(mg+f(v)) \tag{1.1.1}
$$
对于下降阶段2
$$
ma=mg-f(v) \tag{1.1.2}
$$
我们考虑上升阶段的情况，由公式 $$(1.1.2)$$ 可知
$$
m\mathrm{d}v=(mg+f(v))\mathrm{d}t \tag{1.1.3}
$$
从而
$$
t_a=\int_{0}^{t_a}\mathrm{d}t=\int_{v_0}^{0}\frac{m}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.4}
$$
我们对式 $(1.1.3)$ 两端乘上 $v$ 得到
$$
mv\mathrm{d}v=(mg+f(v))v\mathrm{d}t=(mg+f(v))\mathrm{d}x \tag{1.1.5}
$$
两边积分，得到
$$
x_a=\int_{0}^{x_a}\mathrm{d}x=\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.6}
$$
同理可知对于下降阶段
$$
t_b=\int_{0}^{t_b}\mathrm{d}t=\int_{v_f}^{0}\frac{m}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.7}
$$

$$
x_b=\int_{0}^{x_b}\mathrm{d}x=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.8}
$$

我们知道 $x_a=x_b$ ，所以
$$
\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.9}
$$

### 1.2