compl t1

排序问题/report.md

@@ -34,7 +34,7 @@ $$
 
 可知常数 C 越小，比值越大
 
-假设 $n-1$ 个点重合，点 $A$ 距离重合点距离为 $x$
+假设 $n-1$ 个点重合，排序 $\sigma_j^i = N$ 点 $A$ 距离 $\sigma_j^i$ 距离为 $x$
 
 ![](./res/t2.png)
 
@@ -53,22 +53,72 @@ $$
 所以
 
 $$
-\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=1+\frac{n-2}{n}\leq2
+\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=1+\frac{n-2}{n}\leq 2
+$$
+
+得证
+
+### T1.3
+
+$$
+d(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\Sigma}) = \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\sigma})\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\mu}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma}) 
+$$
+
+$$
+\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\mu}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma}) 
+$$
+
+$$
+\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{\mu}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma}) 
+$$
+
+$$
+= \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + 2\sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma}) 
+$$
+
+$$
+= d(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\Sigma}) + 2d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})
+$$
+
+$$
+\leq 3d(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\Sigma})
+$$
+
+同理，由T1.2知
+
+$$
+\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|\leq 2 \sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|
+$$
+
+$$
+d(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\Sigma}) = \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\sigma})\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\beta}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\sigma}) 
+$$
+
+$$
+\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + 2\sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\sigma}) 
+$$
+
+$$
+\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + 4\sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma}) 
+$$
+
+$$
+\leq 5d(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\Sigma})
 $$
 
 得证
 
 ## T2
 
-## T2.1
+### T2.1
 
 $\boldsymbol{S}=(7,8,-10,-5)^T$
 
-## T2.2
+### T2.2
 
 $\boldsymbol{S^{(2)}}=(37,-7,-17,-5)^T$
 
-## T2.3
+### T2.3
 
 $$
 s^i = \sum\limits_{j\in T_i}q_{ij}
@@ -91,27 +141,27 @@ $$
 如此求出每个 $s^{(2)}_i$，即可得到 $\boldsymbol{S}^{(2)}$
 
 $$
-\boldsymbol{S}^{(2)}=(\boldsymbol{M}+l)\boldsymbol{S}
+\boldsymbol{S}^{(2)}=(\boldsymbol{M}+l*\boldsymbol{E})\boldsymbol{S}
 $$
 
 对于 $\boldsymbol{M}^2$ 若 $m^2_{ik}\neq 0$ ，则必然 $\exist j$ 使得 $m_{ij}m_{jk} = 1$所以 $m^2_{ik}$ 的值即为 $j$ 的个数，即为 $i$ 与 $k$ 之间发生的间接比赛的场数
 
 所以 $\boldsymbol{M}^2$ 保存了所有间接比赛的场数
 
-## 2.4
+### T2.4
 
 我们易知 
 
 $$
-\boldsymbol{S}^{(3)}=(\boldsymbol{M}+l)\boldsymbol{S}^{(2)}
+\boldsymbol{S}^{(3)}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{S}^{(2)}+l^2\boldsymbol{S}
 $$
 
 $$
-\boldsymbol{S}^{(n)}=(\boldsymbol{M}+l)\boldsymbol{S}^{(n-1)}
+\boldsymbol{S}^{(n)}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{S}^{(n-1)}+l^{n-1}\boldsymbol{S}
 $$
 
 所以递推得到 
 
 $$
-\boldsymbol{S}^{(n)}=(\boldsymbol{M}+l)^{n-1}\boldsymbol{S}
+\boldsymbol{S}^{(n)}=\boldsymbol{M}^{n-1}\boldsymbol{S} + (\boldsymbol{M}^{n-1}-l^{n-1}\boldsymbol{E})(\boldsymbol{M}-l\boldsymbol{E})^{-1}l\boldsymbol{S}
 $$