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排序问题
T1
T1.1
对于 \boldsymbol{\mu} 的任一分量 \mu_{i}, 我们可以知道 \forall\mu\in\mathbb{R}, |\mu-\sigma_{i}^{1}|+|\mu-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu-\sigma_{i}^{k}|>|\mu_{i}-\sigma_{i}^{1}|+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{k}|, 我们可以知道, \mu_{i} 为 \set{\sigma_{i}^{1},\sigma_{i}^{2},\cdots,\sigma_{i}^{k}} 的中位数
\therefore \mu_{i} = \begin{align}\left\{\begin{aligned}
\sigma_{i}^{k/2}, k为偶数\\
\sigma_{i}^{(k+1)/2}, k为奇数
\end{aligned}\right.\end{align}
我们取 \boldsymbol{\sigma}_{i}^{\prime} 为 \mu_{i} 在 \set{\mu_{0},\mu_{1},\cdots,\mu_{k}} 中的排序，对于相同的值则随机排序，即为一种综合排序。然而，\boldsymbol{\sigma^{\star}} 不能从中得出，因为可能有相同的值。
T1.2
对于 ABC 三点，C 在线段 AB 上，|C-A|+|C-B|=const 所以我们可以认为这两个点对于 \sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i| 与 \sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i| 的贡献是相同的，所以我们可以令
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=C+x_1
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|=C+x_2
其中常数 C 是共同贡献的总值，于是
\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=\frac{C+x_1}{C+x_2}
可知常数 C 越小，比值越大
假设 n-1 个点重合，排序 \sigma_j^i = N 点 A 距离 \sigma_j^i 距离为 x
\mu_j 为中位数，所以 \mu_j 与 N 点重合
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|= x
\mu_j 为平均数， |\mu_j - N|=\frac{x}{n}
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=x+(n-2)\frac{x}{n}
所以
\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=1+\frac{n-2}{n}\leq 2
得证
T1.3
d(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\Sigma}) = \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\sigma})\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\mu}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma})
\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\mu}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma})
\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{\mu}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma})
= \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + 2\sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma})
= d(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\Sigma}) + 2d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})
\leq 3d(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\Sigma})
同理，由T1.2知
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|\leq 2 \sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|
d(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\Sigma}) = \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\sigma})\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma^{\prime}},\boldsymbol{\beta}) + \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\sigma})
\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + 2\sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\sigma})
\leq \sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\sigma}) + 4\sum\limits_{i=1}^{k}L_1(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\sigma})
\leq 5d(\boldsymbol{\sigma}^*,\boldsymbol{\Sigma})
得证
T2
T2.1
\boldsymbol{S}=(7,8,-10,-5)^T
T2.2
\boldsymbol{S^{(2)}}=(37,-7,-17,-5)^T
T2.3
s^i = \sum\limits_{j\in T_i}q_{ij}
在讨论 \boldsymbol{S}^{(2)} 的计算时，
对于每个 s^{(2)}_i 我们首先考虑单个 j 的情况，对于 \forall k \in T_j , q^{(2)}_{ik} = q_{ij}+q_{jk}，所以
q^{(2)}_{ik} = \sum\limits_{k \in T_j}q_{ij}+q_{jk} = lq_{ij} + s_j
所以，s^{(2)}_i 即为上式求和
s^{(2)}_i = \sum\limits_{j \in T_i}lq_{ij}+s_j = \sum\limits_{j=0}^{n}m_{ij}(s_j+q_{ij}l) = \sum\limits_{j=0}^{n}m_{ij}s_j + s_il
如此求出每个 s^{(2)}_i，即可得到 \boldsymbol{S}^{(2)}
\boldsymbol{S}^{(2)}=(\boldsymbol{M}+l*\boldsymbol{E})\boldsymbol{S}
对于 \boldsymbol{M}^2 若 m^2_{ik}\neq 0 ，则必然 \exist j 使得 m_{ij}m_{jk} = 1所以 m^2_{ik} 的值即为 j 的个数，即为 i 与 k 之间发生的间接比赛的场数
所以 \boldsymbol{M}^2 保存了所有间接比赛的场数
T2.4
我们易知
\boldsymbol{S}^{(3)}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{S}^{(2)}+l^2\boldsymbol{S}
\boldsymbol{S}^{(n)}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{S}^{(n-1)}+l^{n-1}\boldsymbol{S}
所以递推得到
\boldsymbol{S}^{(n)}=\boldsymbol{M}^{n-1}\boldsymbol{S} + (\boldsymbol{M}^{n-1}-l^{n-1}\boldsymbol{E})(\boldsymbol{M}-l\boldsymbol{E})^{-1}l\boldsymbol{S}