随机模型

第一题

旧赛制进球数概率

	0	1	2
先 `X`	`(1-p)^2`	`2p(1-p)`	`p^2`
后 `Y`	`(1-q)^2`	`2q(1-q)`	`q^2`

P\{先手胜\}=P\{X>Y\}=2p^2q(1-q)+2(1-q)^2p(1-p)+p^2(1-q)^2=(1-q)p[2pq+2(1-p)(1-q)+p(1-q)]

P\{后手胜\}=P\{X<Y\}=2q^2p(1-q)+2(1-p)^2q(1-q)+q^2(1-p)^2=2(1-p)q[2pq+2(1-p)(1-q)+q(1-p)]

P\{相同\}=P\{X=Y\}=[pq+(1-p)(1-q)]^2

新赛制进球数概率

	0	1	2
先 `X`	`(1-p)(1-q)`	`p(1-q)+q(1-p)`	`pq`
后 `Y`	`(1-p)(1-q)`	`p(1-q)+q(1-p)`	`pq`

P\{先手胜\}=P\{X>Y\}=p(1-p)[q^2+(1-q)^2]+q(1-q)[p^2+(1-p)^2]+pq(1-p)(1-q)

P\{后手胜\}=P\{X<Y\}=p(1-p)[q^2+(1-q)^2]+q(1-q)[p^2+(1-p)^2]+pq(1-p)(1-q)

P\{相同\}=P\{X=Y\}=[(1-p)(1-q)]^2+[p(1-q)+q(1-p)]^2+p^2q^2

在 p=\frac{3}{4},q=\frac{2}{3} 时

	先胜	后胜	平
旧	`\frac{17}{48}`	`\frac{2}{9}`	`\frac{61}{144}`
新	`\frac{41}{144}`	`\frac{41}{144}`	`\frac{62}{144}`

无论在新旧规则下，加赛第一轮都是先罚球队先罚球，后罚球队后罚球。

所以，先罚球队获胜概率为: p(1-q)，后罚球队获胜概率为: q(1-p)

若 A 第一轮得分，则获胜，若不得分，若对手也不得分，则进入下一轮循环

所以概率为


P\{A获胜\}=(\alpha+\beta)\sum\limits_{i=0}\gamma^i=\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}


P\{A获胜\}=\alpha+a\beta+b\gamma

考虑 a 的情况

所以 a=\gamma+\beta\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}

考虑 b 的情况

B 在突然死亡中获胜的概率为\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2} ，则 A 获胜的概率 b=P\{\bar{B}\}=1-P\{B\}=1-\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}

由 2.2 的结论可知


P\{A获胜\}=\alpha+(\gamma+\beta\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2})\beta+(1-\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2})\gamma

修改以前，代入 \alpha+\beta=1-\gamma 我们可以知道


P\{A获胜\}=\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}=\frac{1}{1+\gamma}

所以，先手获胜的概率是更大的，尤其是不得分的概率很小时

修改之后，