paixu

排序问题/report.md

@@ -11,4 +11,60 @@ $$
     \sigma_{i}^{(k+1)/2}, k为奇数
 \end{aligned}\right.\end{align}
 $$
-我们取 $\boldsymbol{\sigma}_{i}^{\prime}$ 为 $\mu_{i}$ 在 $\set{\mu_{0},\mu_{1},\cdots,\mu_{k}}$ 中的排序
+我们取 $\boldsymbol{\sigma}_{i}^{\prime}$ 为 $\mu_{i}$ 在 $\set{\mu_{0},\mu_{1},\cdots,\mu_{k}}$ 中的排序，对于相同的值则随机排序，即为一种综合排序。然而，$\boldsymbol{\sigma^{\star}}$ 不能从中得出，因为可能有相同的值。
+
+### T1.2
+
+![](./res/t1.png)
+
+对于 ABC 三点，C 在线段 AB 上，$|C-A|+|C-B|=const$ 所以我们可以认为这两个点对于 $\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|$ 与 $\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|$ 的贡献是相同的，所以我们可以令
+
+$$
+\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=C+x_1
+$$
+$$
+\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|=C+x_2
+$$
+
+其中常数 C 是共同贡献的总值，于是
+
+$$
+\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=\frac{C+x_1}{C+x_2}
+$$
+
+可知常数 C 越小，比值越大
+
+假设 $n-1$ 个点重合，点 $A$ 距离重合点距离为 $x$
+
+![](./res/t2.png)
+
+$\mu_j$ 为中位数，所以 $\mu_j$ 与 N 点重合
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+$$
+\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|= x
+$$
+
+$\mu_j$ 为平均数， $|\mu_j - N|=\frac{x}{n}$
+
+$$
+\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=x+(n-2)\frac{x}{n}
+$$
+
+所以
+
+$$
+\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=1+\frac{n-2}{n}\leq2
+$$
+
+得证
+
+## T2
+
+## T2.1
+
+$\boldsymbol{S}=(7,8,-10,-5)^T$
+
+## T2.2
+
+$\boldsymbol{S^{(2)}}=(37,-7,-17,-5)^T$
+