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排序问题
T1
T1.1
对于 \boldsymbol{\mu} 的任一分量 \mu_{i}, 我们可以知道 \forall\mu\in\mathbb{R}, |\mu-\sigma_{i}^{1}|+|\mu-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu-\sigma_{i}^{k}|>|\mu_{i}-\sigma_{i}^{1}|+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{k}|, 我们可以知道, \mu_{i} 为 \set{\sigma_{i}^{1},\sigma_{i}^{2},\cdots,\sigma_{i}^{k}} 的中位数
\therefore \mu_{i} = \begin{align}\left\{\begin{aligned}
\sigma_{i}^{k/2}, k为偶数\\
\sigma_{i}^{(k+1)/2}, k为奇数
\end{aligned}\right.\end{align}
我们取 \boldsymbol{\sigma}_{i}^{\prime} 为 \mu_{i} 在 \set{\mu_{0},\mu_{1},\cdots,\mu_{k}} 中的排序，对于相同的值则随机排序，即为一种综合排序。然而，\boldsymbol{\sigma^{\star}} 不能从中得出，因为可能有相同的值。
T1.2
对于 ABC 三点，C 在线段 AB 上，|C-A|+|C-B|=const 所以我们可以认为这两个点对于 \sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i| 与 \sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i| 的贡献是相同的，所以我们可以令
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=C+x_1
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|=C+x_2
其中常数 C 是共同贡献的总值，于是
\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=\frac{C+x_1}{C+x_2}
可知常数 C 越小，比值越大
假设 n-1 个点重合，点 A 距离重合点距离为 x
\mu_j 为中位数，所以 \mu_j 与 N 点重合
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|= x
\mu_j 为平均数， |\mu_j - N|=\frac{x}{n}
\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=x+(n-2)\frac{x}{n}
所以
\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=1+\frac{n-2}{n}\leq2
得证
T2
T2.1
\boldsymbol{S}=(7,8,-10,-5)^T
T2.2
\boldsymbol{S^{(2)}}=(37,-7,-17,-5)^T