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# 排序问题
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## T1
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### T1.1
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对于 $\boldsymbol{\mu}$ 的任一分量 $\mu_{i}$, 我们可以知道 $\forall\mu\in\mathbb{R}$, $|\mu-\sigma_{i}^{1}|+|\mu-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu-\sigma_{i}^{k}|>|\mu_{i}-\sigma_{i}^{1}|+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{2}|+\cdots+|\mu_{i}-\sigma_{i}^{k}|$, 我们可以知道, $\mu_{i}$ 为 $\set{\sigma_{i}^{1},\sigma_{i}^{2},\cdots,\sigma_{i}^{k}}$ 的中位数
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\therefore \mu_{i} = \begin{align}\left\{\begin{aligned}
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\sigma_{i}^{k/2}, k为偶数\\
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\sigma_{i}^{(k+1)/2}, k为奇数
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\end{aligned}\right.\end{align}
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$$
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我们取 $\boldsymbol{\sigma}_{i}^{\prime}$ 为 $\mu_{i}$ 在 $\set{\mu_{0},\mu_{1},\cdots,\mu_{k}}$ 中的排序，对于相同的值则随机排序，即为一种综合排序。然而，$\boldsymbol{\sigma^{\star}}$ 不能从中得出，因为可能有相同的值。
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### T1.2
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对于 ABC 三点，C 在线段 AB 上，$|C-A|+|C-B|=const$ 所以我们可以认为这两个点对于 $\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|$ 与 $\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|$ 的贡献是相同的，所以我们可以令
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\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=C+x_1
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\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|=C+x_2
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其中常数 C 是共同贡献的总值，于是
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\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=\frac{C+x_1}{C+x_2}
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可知常数 C 越小，比值越大
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假设 $n-1$ 个点重合，点 $A$ 距离重合点距离为 $x$
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$\mu_j$ 为中位数，所以 $\mu_j$ 与 N 点重合
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\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|= x
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$\mu_j$ 为平均数， $|\mu_j - N|=\frac{x}{n}$
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\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|=x+(n-2)\frac{x}{n}
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所以
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\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\beta}_j-\sigma_j^i|}{\sum\limits_{i=0}^{n}|\boldsymbol{\mu}_j-\sigma_j^i|}=1+\frac{n-2}{n}\leq2
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得证
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## T2
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## T2.1
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$\boldsymbol{S}=(7,8,-10,-5)^T$
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## T2.2
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$\boldsymbol{S^{(2)}}=(37,-7,-17,-5)^T$
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