微积分

一

对于上升阶段：


ma=-(mg+f(v)) \tag{1.1.1}

对于下降阶段2


ma=mg-f(v) \tag{1.1.2}

我们考虑上升阶段的情况，由公式 (1.1.2) 可知


m\mathrm{d}v=(mg+f(v))\mathrm{d}t \tag{1.1.3}

从而


t_a=\int_{0}^{t_a}\mathrm{d}t=\int_{v_0}^{0}\frac{m}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.4}

我们对式 (1.1.3) 两端乘上 v 得到


mv\mathrm{d}v=(mg+f(v))v\mathrm{d}t=(mg+f(v))\mathrm{d}x \tag{1.1.5}

两边积分，得到


x_a=\int_{0}^{x_a}\mathrm{d}x=\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.6}

同理可知对于下降阶段


t_b=\int_{0}^{t_b}\mathrm{d}t=\int_{v_f}^{0}\frac{m}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.7}


x_b=\int_{0}^{x_b}\mathrm{d}x=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.8}

我们知道 x_a=x_b ，所以


\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.9}