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# 微积分
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## 一
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### 1.1
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对于上升阶段：
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ma=-(mg+f(v)) \tag{1.1.1}
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对于下降阶段2
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ma=mg-f(v) \tag{1.1.2}
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我们考虑上升阶段的情况，由公式 $$(1.1.2)$$ 可知
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m\mathrm{d}v=(mg+f(v))\mathrm{d}t \tag{1.1.3}
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从而
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t_a=\int_{0}^{t_a}\mathrm{d}t=\int_{v_0}^{0}\frac{m}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.4}
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$$
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我们对式 $(1.1.3)$ 两端乘上 $v$ 得到
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$$
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mv\mathrm{d}v=(mg+f(v))v\mathrm{d}t=(mg+f(v))\mathrm{d}x \tag{1.1.5}
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$$
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两边积分，得到
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$$
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x_a=\int_{0}^{x_a}\mathrm{d}x=\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.6}
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$$
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同理可知对于下降阶段
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t_b=\int_{0}^{t_b}\mathrm{d}t=\int_{v_f}^{0}\frac{m}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.7}
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$$
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$$
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x_b=\int_{0}^{x_b}\mathrm{d}x=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.8}
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$$
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我们知道 $x_a=x_b$ ，所以
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$$
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\int_{v_0}^{0}\frac{mv}{mg+f(v)}\mathrm{d}v=\int_{v_f}^{0}\frac{mv}{mg-f(v)}\mathrm{d}v \tag{1.1.9}
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$$
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### 1.2
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