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# 随机模型
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## 第一题
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### 1.1
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旧赛制进球数概率
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| | 0 | 1 | 2 |
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| ------ | --------- | --------- | ----- |
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| 先 $X$ | $(1-p)^2$ | $2p(1-p)$ | $p^2$ |
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| 后 $Y$ | $(1-q)^2$ | $2q(1-q)$ | $q^2$ |
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$P\{先手胜\}=P\{X>Y\}=2p^2q(1-q)+2(1-q)^2p(1-p)+p^2(1-q)^2=(1-q)p[2pq+2(1-p)(1-q)+p(1-q)]$
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$P\{后手胜\}=P\{X<Y\}=2q^2p(1-q)+2(1-p)^2q(1-q)+q^2(1-p)^2=2(1-p)q[2pq+2(1-p)(1-q)+q(1-p)]$
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$P\{相同\}=P\{X=Y\}=[pq+(1-p)(1-q)]^2$
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新赛制进球数概率
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| | 0 | 1 | 2 |
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| ------ | ------------ | --------------- | ---- |
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| 先 $X$ | $(1-p)(1-q)$ | $p(1-q)+q(1-p)$ | $pq$ |
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| 后 $Y$ | $(1-p)(1-q)$ | $p(1-q)+q(1-p)$ | $pq$ |
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$P\{先手胜\}=P\{X>Y\}=p(1-p)[q^2+(1-q)^2]+q(1-q)[p^2+(1-p)^2]+pq(1-p)(1-q)$
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$P\{后手胜\}=P\{X<Y\}=p(1-p)[q^2+(1-q)^2]+q(1-q)[p^2+(1-p)^2]+pq(1-p)(1-q)$
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$P\{相同\}=P\{X=Y\}=[(1-p)(1-q)]^2+[p(1-q)+q(1-p)]^2+p^2q^2$
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在 $p=\frac{3}{4},q=\frac{2}{3}$ 时
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| | 先胜 | 后胜 | 平 |
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| ---- | ---------------- | ---------------- | ---------------- |
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| 旧 | $\frac{17}{48}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{61}{144}$ |
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| 新 | $\frac{41}{144}$ | $\frac{41}{144}$ | $\frac{62}{144}$ |
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### 1.2
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无论在新旧规则下，加赛第一轮都是先罚球队先罚球，后罚球队后罚球。
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所以，先罚球队获胜概率为: $p(1-q)$，后罚球队获胜概率为: $q(1-p)$
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## 第二题
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### 2.1
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若 A 第一轮得分，则获胜，若不得分，若对手也不得分，则进入下一轮循环
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所以概率为
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$$
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P\{A获胜\}=(\alpha+\beta)\sum\limits_{i=0}\gamma^i=\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}
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$$
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### 2.2
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$$
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P\{A获胜\}=\alpha+a\beta+b\gamma
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$$
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考虑 $a$ 的情况
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1. B 不得分，A胜利
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2. B射门，A在突然死亡中胜利
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所以 $a=\gamma+\beta\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}$
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考虑 $b$ 的情况
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B 在突然死亡中获胜的概率为$\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}$ ，则 A 获胜的概率 $b=P\{\bar{B}\}=1-P\{B\}=1-\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}$
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### 2.3
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由 **2.2** 的结论可知
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$$
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P\{A获胜\}=\alpha+(\gamma+\beta\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2})\beta+(1-\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2})\gamma
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$$
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修改以前，代入 $\alpha+\beta=1-\gamma$ 我们可以知道
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$$
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P\{A获胜\}=\frac{\alpha+\beta}{1-\gamma^2}=\frac{1}{1+\gamma}
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$$
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所以，先手获胜的概率是更大的，尤其是不得分的概率很小时
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修改之后，
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1. $\gamma$ 很大, 即 $\gamma\to1$ 时
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$P=\frac{\gamma^2}{1+\gamma}=\frac{1}{2}$
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2. $\gamma$ 很小, 即 $\gamma\to0$ 时
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$P=\alpha+\beta^2$ ，此时我们令 $\alpha=1-\beta$, 可知 $P=1-\beta+\beta^2$
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先手仍更有可能获胜，但是在 $\beta$ 没有很大或很小的情况时，比修改之前小。
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注：$\beta$ 很大导致先手获胜概率大是因为第三轮突然死亡先手得分概率很大，$\beta$ 很小则先手在第一轮就容易获胜。如果要使得先手后手更加公平，需要继续推迟突然死亡的机制 |